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无穷是多穷?

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发表于 2018-8-23 13:39:01 | 显示全部楼层 |阅读模式
我们都有关于无穷是什么的模糊感觉。它是描述事物永远不会结束的一种东西。没有边界的宇宙或者没有尽头的数列,就像自然数数列1,2,3,4......无论你查了多少个数,你都不可能到达数列的结尾。无论你以多快的速度飞行,你都不可能抵达无穷宇宙的边缘。这种无线性是古希腊数学家亚里士多德口中的潜无穷:它是清楚地但是你永远碰不到它。你不可能抵达无穷数列或者无穷延展的空间的边界。
亚里士多德也思考过另外一种无限,叫做真无穷。这是你可能测量到的东西,比如特定地点特定时间物体的温度。但是没有人真正的看到过真无穷,事实上,亚里士多德认为真无穷在物理世界是不存在的。直到今天,物理学家也不知道他是对的还是错的。
持续计数
让我们继续讨论潜无穷:它刻画一些无止境的事物。我们已经提到了自然数数列的例子。但是现在考虑一条无穷长的线;一条起点在你的面前但向远处无限延伸的线。那么它代表的无穷性和自然数代表的无穷性一样吗?
也许你的直觉告诉你两者是不同的。自然数列是分立的存在的实体,然而线是连续的。你可以把自然数分立的放在射线上,两个数之间的距离是1米。这给人的感觉是射线的无穷性比数列的无穷性更强:射线可以填满数与数之间的空隙。
数学家认同这种直觉。他们区分可数的无穷性和不可数的无穷性。自然数构成了可数的无穷性,可以理解为如果你有无穷多的时间那你可以将它们一一计数。一群无穷多的人依然可以形成可数的无穷。因为你可以制造一个包含所有人的名单(需要无穷长的时间),名单上每一个名字占据一个位置,然后你可以通过名单数每一个人就像数自然数一样。一般的,如果你可以将每个无穷多的元素一个接一个的列出来那么他们构成的无穷就是可数无穷。
直线的无穷性是怎么样的呢?它也是由无穷多的元素组成的:这种情况中,元素是线上的每个点。如果你把线想象成无穷长的尺子,每一格点是一个数:开始的点是0,半米处的点是0.5,等等。你是否可以做一个表单来表明他们也组成可数无穷。
一个办法是按照数的大小来进行排列。但是很快你就会遇到麻烦。当然,第一个数一定是0,但是第二个数是多少?你可能会说是0.1,但是0.01比0.1要小,所以它更有资格称为第二个数。但是0.001呢?对于任何一个你选定的第二个数,你总可以找到一个比它更小的数。所以你不可能按照大小顺序把尺子上的每一个数排列成一个表单。
我们可以按照其他的办法排列它们吗?答案是没有!有一个直截了当的论证证明任何试图将正实数进行排序的表单一定会遗漏至少一个正实数。你永远也得不到完整的表单。这表明无穷长的射线表现出的无穷是不可数无穷。
哪种无穷更大?
上面的论证是否意味着直线的无穷性从某种意义上来说比自然数的无穷性更大?一个比较无穷多元素组成的事物的大小的方法是,如果你不会对数数感到极其厌烦,看你是否可以将两个庞然大物里的元素精确地一一对应起来。考虑很多的椅子和很多的人。如果每个人可以分到一把椅子而且没有椅子多出来,那么我们可以断定椅子的数量和人的数量是完全一样的。如果有椅子剩余,那么一定是椅子的数量多于人的数量。如果有人没有分到椅子,那一定是人比椅子多。
你可以把这个想法扩展到无穷多元素组成的集合中去。如果你可以把集合A中的元素和集合B中的元素严格的一一对应起来,每一个A中的元素对应B中的一个元素,反过来也是一样,这样我们可以说A、B两个集合一样大,或者用数学家的话说,有相同的势(same cardinality)。我们已经在人群的例子中看到了这种情况。我们把它们一个一个排列起来并把它们和自然数一个一个对应起来:每个人对应一个确定的自然数(根据他们在队列中的位置),每一个自然数也对应一个人。这是为什么我们说人群和自然数是同一种无穷--可数无穷。
回到无穷长线上的点,然而,任何你想要一一排列他们的努力都是没用的,因为你至少会遗失一个点。这就是为什么我们说射线(不可数无穷)的势比自然数(可数无穷)更大。
可数的困惑
直观地,不可数无穷显得比可数无穷更加难处理,而且在数学中经常是这样的。但是这并不意味着可数无穷是直观的。作为一个例子,考虑偶数2,4,6,8等等。这里有无穷多的数,但是他们的势和所有自然数的势相比哪个大哪个小?前者只有后者的一半大吗?
答案是否定的。我们说如果两个集合中的元素可以一一对应起来,那么两者的势是一样的。将所有的偶数和所有的自然数一一对应起来是相当容易的:
Georg Cantor
所以全体偶数和全体自然数的势是一样的。如果这看起来已经很奇怪了,那么接下来的结果会更加的奇怪。所有的有理数有可能被一一排列出来;也就是说它们可以和自然数一一对应起来。所以尽管有理数的数目似乎比自然数要多,但是它们拥有相同的势。
伟大的伽利略17世纪发现了关于无穷的奇怪事实并认为它们太不可思议了,这使他不再思考无限并声称:“我们不能说无穷大的量之间谁大谁小或者谁和谁是否一样大。”过了超过两百年之后,数学家康托尔(Georg Cantor)重新开始思考无穷,他并没有被无穷奇怪的性质吓坏,并且走了更远。
以上是关于潜无穷的内容,它们描述的是无穷的队列或者扩张。那么现实无穷是什么样的?这种无穷在物理世界中真的存在吗?
原文链接:
https://plus.maths.org/content/what-infinity

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